复杂度分析

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系。

基本概念

前提：每行代码都执行类似的操作：读数据 - 运算 - 写数据，所以粗略估计每行代码执行时间一样，为 unit_time

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
}

(2n+2) * unit_time

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1;
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j;
     }
   }
}

(3 + 2n + 2n²) * unit_time

所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比

T(n) = O(f(n))

T(n) 表示代码执行的时间

n 表示数据规模的大小

f(n) 表示每行代码执行次数的总合

所以公式中 O 表示 T(n) 与 f(n) 成正比

上面的可以表示为 T(n) = O(2n + 2) T(n) = O(3 + 2n + 2n²)

这就是大 O 时间复杂度表示法。并不是表示代码执行时间，而是代码执行时间随数据规模增长的变化趋势

公式中的低阶、常量、系数并不左右增长趋势，所以可以忽略。所以可以记为 T(n) = O(n) T(n) = O(n²)

时间复杂度分析

只关注循环执行次数最多的一段代码
加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
即：T(n) = O(10000 + n + n²) 取最大量级，常量级忽略，结果为 T(n) = O(n²)
乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外复杂度的乘积
T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n²)

常见的时间复杂度分析

指数阶、阶乘阶可以分类为非多项式量级，n 越大，执行时间急剧增加，非常低效。

O(1)

一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)

O(㏒n)、O(n㏒n)

对数阶比较难分析

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

以 2 为底 n 的对数，不论是以 2 为底，还是以 10 为底，都算作 O(㏒n)

O(m+n)、O(m*n)

代码复杂度由两个数据规模决定

空间复杂度

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

第 2 行申请了 1 个空间存储变量

第 3 行申情了 n 个空间存储变量

剩下的没有占用更多空间，所以空间复杂度为 O(n)